Polyhedra
多面體

多面體是指有「很多」個面的立體圖形. 例如一般的立方體、或是金字塔就是多面體. 這裡會介紹 80 個均勻多面體 (Uniform Polyhedra).

Components of a Polyhedron

對於所有凸多面體 (及某些凹多面體), 永遠有:

V - E + F = 2

其中 V 是頂點的個數、E 是邊的個數、F 是面的個數.

Uniform Polyhedron?

一個均勻多面體就是每個頂點 (周圍的面、邊分佈) 都是全等的. 它也的一個有外接球的多面體, 而球的中心就是多面體的重心 (Centroid).

Some Special Types of Polyhedra

List of Polyhedra

以下設所有構成多面體之正多邊形的邊長皆為1.
s 為表面面積、v 為體積、R 為外接球半徑、r 為內切球半徑、θ 為任意相鄰面之間的夾角 (Dihedral Angle)、V 為頂點數、E 為邊數、F 為面數.
面數後 (x{y} + z{w} + ...) 代表多面體的面由 xy 邊形、zw 邊形、... 所組成.


1) 四面體 (Tetrahedron) [P]
四面體是一由四個等邊三角形組成的多面體, 其每個頂點旁邊都有三個三角形.
四面體是最簡單的有角規則立體幾何圖形. 

2) 截頂四面體 (Truncated Tetrahedron) [A]
把一個四面體的各個頂點附近一部份切去後便成了截頂四面體.

3) 八合四面體 (Octahemioctahedron / Octatetrahedron)
把八個四面體合起來, 且分享同一個頂點就得到一個八合四面體.

4) 四合四面體 (Tetrahemihexahedron)
把四個 (三面為直角三角形的) 四面體合起來, 且分享同一個頂點就得到一個四合四面體.

5) 八面體 (Octahedron) [P]
四面體是一由八個等邊三角形組成的多面體, 其每個頂點旁邊都有四個三角形.

6) 立方體、六面體 (Cube / Hexahedron) [P]
立方體是一由六個正方形組成的多面體, 其每個頂點旁邊都有三個正方形.

7) 截半立方體 (Cuboctahedron / Dymaxion / Heptaparallelohedron) [A]
把八合四面體凹陷的地方填補便得一截半立方體.
輝銀礦 (Argentite, Ag2S) 的晶體便是一個截半立方體的結構.

8) 截頂八面體 (Truncated Octahedron / Mecon) [A]
把一個八面體的各個頂點附近一部份切去後便成了截頂八面體.
螢石 (Fluorite, CaF2) 的晶體便是一個截頂八面體的結構.

9) 截頂立方體 (Truncated Cube) [A]
把一個立方體的各個頂點附近一部份切去後便成了截頂八面體.

10) 小斜方截半立方體 (Small Rhombicuboctahedron) [A]

11) (大) 斜方截半立方體 (Great Rhombicuboctahedron / Rhombitruncated Cuboctahedron) [A]

12) 扭棱立方體 (Snub Cube / Cubus Simus / Snub Cuboctahedron) [A]

13) 小立方截半立方體 (Small Cubicuboctahedron)

14) 大立方截半立方體 (Great Cubicuboctahedron)

15) 六合五面體 (Cubohemioctahedron)
把一些八面體沿中間的面切成兩個五面體 (其中一面成正方形), 再把六個五面體合起來, 使得它們共點, 則得到一個六合五面體.

16) 立方截頂截半立方體 (Cubitruncated Cuboctahedron)

17) 大均勻斜方截半立方體 (Uniform Great Rhombicuboctahedron / Quasirhombicuboctahedron)

18) 小斜方六面體 (Small Rhombihexahedron)
把小立方截半立方體的凹陷和凸出的部分性質互換便可得一小斜方六面體.

19) 星狀截頂六面體 (Stellated Truncated Hexahedron)

20) 大截頂截半立方體 (Great Truncated Cuboctahedron / Quasitruncated Cuboctahedron)

21) 大斜方六面體 (Great Rhombihexahedron)

22) 二十面體 (Icosahedron) [P]
二十面體是一由二十個等邊三角形組成的多面體, 其每個頂點旁邊都有五個三角形.

23) 十二面體 (Dodecahedron) [P]
十二面體是一由十二個正五角形組成的多面體, 其每個頂點旁邊都有三個五邊形.
十二面體與二十面體的面積比和體積比相同.
黃鐵礦 (Pyrite, FeS2) 的晶體便是一個十二面體的結構.

24) 三十二面體、截半十二面體 (Icosidodecahedron) [A]
把一個十二面體或二十面體截頂至剛好一半便得一三十二面體.

25) 截頂二十面體 (Truncated Icosahedron) [A]
把一個二十面體截頂即可.
一般足球的外形及碳-60的結構均為截頂二十面體.

26) 截頂十二面體 (Truncated Dodecahedron) [A]
把一個十二面體截頂即可.

27) 小斜方三十二面體 (Small Rhombicosidodecahedron) [A]

28) 大截頂三十二面體 (Great Truncated Icosidodecahedron / Great Rhombicosidodecahedron / Rhombitruncated Icosidodecahedron) [A]

29) 扭棱十二面體 (Snub Dodecahedron) [A]

30) 小雙三斜三十二面體 (Small Ditrigonal Icosidodecahedron)

31) 小二十合三十二面體 (Small Icosicosidodecahedron)

32) 小二十合扭棱三十二面體 (Small Snub Icosicosidodecahedron)

33) 小十二合三十二面體 (Small Dodecicosidodecahedron)

34) 小星狀十二面體 (Small Stellated Dodecahedron / "Urchin") [K]

35) 大十二面體 (Great Dodecahedron) [K]

36) 十二合十二面體 ((Great) Dodecadodecahedron)

37) 截頂大十二面體 (Truncated Great Dodecahedron)

38) 斜方十二合十二面體 (Rhombidodecadodecahedron)

39) 小斜方十二面體 (Small Rhombidodecahedron)

40) 扭棱十二合十二面體 (Snub Dodecadodecahedron)

41) 雙三斜十二面體 (Ditrigonal Dodecadodecahedron)

42) 大雙三斜方十二合三十二面體 (Great Ditrigonal Dodecicosidodecahedron)

43) 小雙三斜方十二合三十二面體 (Small Ditrigonal Dodecicosidodecahedron)

44) 三十二合十二面體 (Icosidodecadodecahedron)

45) 二十截頂十二合十二面體 (Icositruncated Dodecadodecahedron)

46) 扭棱三十二合十二面體 (Snub Icosidodecadodecahedron)

47) 大三斜三十二面體 (Great Ditrigonal Icosidodecahedron)

48) 大二十合三十二面體 (Great Icosicosidodecahedron)

49) 小二十合四面體 (Small Icosihemidodecahedron)

50) 小十二合二十面體 (Small Dodecicosahedron)

51) 小十二合六面體 (Small Dodecahemidodecahedron)

52) 大星狀十二面體 (Great Stellated Dodecahedron) [K]

53) 大二十面體 (Great Icosahedron) [K]

54) 大三十二面體 (Great Icosidodecahedron)

55) 大截頂二十面體 (Great Truncated Icosahedron)

56) 斜方二十面體 (Rhombicosahedron)

57) 大扭棱三十二面體 (Great Snub Icosidodecahedron)

58) 小星狀截頂十二面體 (Small Stellated Truncated Dodecahedron)

59) 截頂十二合十二面體 ((Quasi-)Truncated Dodecadodecahedron)

60) 反扭棱十二合十二面體 (Inverted Snub Dodecadodecahedron)

61) 大十二合三十二面體 (Great Dodecicosidodecahedron)

62) 小十二合十一面體 (Small Dodecahemicosahedron)

63) 大十二合二十面體 (Great Dodecicosahedron)

64) 大扭棱十二合三十二面體 (Great Snub Dodecicosidodecahedron)

65) 大十二合十一面體 (Great Dodecahemicosahedron)

66) 大星狀截頂十二面體 (Great Stellated Truncated Dodecahedron / Quasitruncated Great Stellated Dodecahedron)

67) 均勻大斜方三十二面體 (Uniform Great Rhombicosidodecahedron / Quasirhombicosidodecahedron)

68) 大截頂三十二面體 (Great (Quasi)Truncated Icosidodecahedron)

69) 大反扭棱三十二面體 (Great Inverted Snub Icosidodecahedron)

70) 大十二合六面體 (Great Dodecahemidodecahedron)

71) 大二十合六面體 (Great Icosihemidodecahedron)

72) 小後扭棱二十合三十二面體 (Small (Inverted) Retrosnub Icosicosidodecahedron)

73) 大斜方十二面體 (Great Rhombidodecahedron)

74) 大後扭棱二十合三十二面體 (Great (Inverted) Retrosnub Icosidodecahedron)

75) 大雙斜方三十二面體 (Great Dirhombicosidodecahedron)
它是唯一一個不能以 Schwarz 三角形產生的均勻多面體

76) 五角柱 (Pentagonal Prism)
五角柱是一個底為正五邊形的柱體.

77) 五反角柱 (Pentagonal Antiprism)

78) 五星角柱 (Pentagrammic Prism)
五星角柱是一個底為正五角星的柱體.

79) 五星反角柱 (Pentagrammic Antiprism)

80) 五星交叉反角柱 (Pentagrammic Crossed Antiprism)
(暫無資料)

External Links & References


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